Por que a Área do Círculo é πr²

Você já deve ter se perguntado por que a área do círculo é πr² e talvez já tenha a resposta. Mas eu vou escrever esta postagem explicando de uma forma diferente. Para entender por que a área do círculo é πr², primeiro é preciso saber qual é a área do triângulo.

Veja nessa figura que a área do triangulo pode ser representada pela equação:

A = b.h

        2

onde b é a base e h é a altura do triângulo.

Se você dividir um circulo em vários pedaços, você encontrará vários triângulos como na figura acima. Quanto maior for o número de pedaços, mais perto do círculo ficará a base do triângulo. Se você dividir o perímetro (p) de um círculo pelo diâmetro (d), o resultado sempre será π.

P = π

d

Como o diâmetro é duas vezes o raio (d = 2r), então a circunferência (perímetro do círculo) é duas vezes o raio multiplicados pelo π.

C = 2rπ

Sempre lembrando o valor de π:

π = 3,141592654…

Agora vamos substituir a base (b) do triângulo pelo perímetro (p) do círculo e a altura (h) do triângulo pelo raio (r) do círculo para encontrarmos a área (A) do círculo.

A = p.r

        2

Agora vamos substituir o valor do perímetro (p) pelo resultado da circunferência (C = 2rπ) nessa equação.

A = 2rπr

         2

ou seja, a área do círculo é:

A = πr²

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Entenda a teoria da Probabilidade III

Eu escrevi algumas postagens neste blog sobre esse assunto. Mas eu, além de usar a forma convencional de calcular, eu também usei uma forma não convencional, uma fórmula que eu inventei e que é apenas uma representação que eu encontrei para eu explicar meu raciocínio. Nesta postagem, eu vou usar apenas a forma convencional, onde n é o número de cartas do baralho e p é o número de cartas sorteadas. A fórmula convencional é:

C_{n, p} =    n!

          P!(n-p)!

C_{n, p} = C_{n, (n-p)}

Primeiro, eu vou calcular os valores com n e p menores que 0 (zero), onde n é maior que p.

Vamos calcular o valor de C_{n, p} onde n = -5 e p = -8:

Resolução:

C_{-5, -8} = C_{-5, 3}

C_{-5, -8} = (-5).(-6).(-7).(-8)!

                   3.2.1.(-8)!

C_{-5, -8} = –210

                6

C_{-5, -8} = -35.

Agora vamos calcular os valores com n menor que 0 (zero) e p maior que 0 (zero).

Vamos calcular o valor de C_{n, p} onde n = -7 e p = 4:

Resolução:

C-7_{, 4} = (-7).(-8).(-9).(-10).(-11)!

                     4.3.2.1.(-11)!

C_{-7, 4} = 5040

              24

C_{-7, 4} = 210.

Mas esse valores negativos são apenas imaginários porque não é possível existir um número negativo de cartas. De qualquer forma, para a Matemática, o importante mesmo deve ser o cálculo em si mesmo quando ele não existe na prática porque eu acho que a Matemática não deve ter limites.

Entenda a Teoria da Probabilidade II

Eu sei que ninguém vai ler estas postagens. Mas eu quero deixar escrito a minha tese no meu blog embora isso não seja importante. Mas é apenas um questão pessoal. Na postagem deste link já concluímos que:

C_{n, p} =       n!

            P!(n-p)!

x = n-p+1

m = p

(x)m = ((x)m-1)(x+m-1

                       m

C_{n, p} = C_{n, (n-p)}

(x)m = (m+1)x-1

Se p = 0 C_{n, p}= 1 e se m = 0 (x)m = 1

Já vimos que é possível calcular esses valores desde que n seja maior que p mesmo sendo ambos negativos (n>p).

Mas há outro valor: Se n for menor que 0 (zero) e p for maior que 0 (zero), também será possível calcular. Vamos calcular o valor de n = -2 e p = 4. Veja:

C_{–2, 4} = (x)m onde

x= -5 e m = 4

Resolução:

(-5)4 = ((-5)3)(-2)

                     4

(-5)3 = ((-5)2)(-3)

                    3

(-5)2 = ((-5)1)(-4)

                    2

(-5)1 = ((-5)0)(-5)

                     1

(-5)0 = 1

Então: (-5)4 = (-2)(-3)(-4)(_5).1

                                  4.3.2.1

(-5)4 = 120

             24

(-5)4 = 5

Ou seja:

C_{-2, 4} = 5

Concluímos então que C_{n, p} existe mesmo que n e p sejam menores que 0 (zero) desde que n>p ou que n<0 e p>0.

Entenda a Teoria da Probabilidade

Uma vez eu estava tentando encontrar uma forma de calcular a probabilidade de sair determinadas cartas de um baralho em um joguinho que eu havia inventado. Nessa época, eu não sabia que existia a teoria da probabilidade. Depois, eu vi que havia chegado à mesma conclusão. Eu vou tentar explicar aqui. Vamos imaginar que você tenha um baralho de 10 cartas. Quantas possibilidades há de você sortear 3 cartas? Existem duas possibilidades: Em uma você não se preocupa com a ordem em que elas serão sorteadas e em outra a ordem é importante. Mas nós não vamos nos preocupar com a ordem. Nesse caso, a probabilidade de você sortear uma das três na primeira carta será 3/10. Se uma das três for sorteada na primeira carta, a probabilidade de sair uma das outras duas na segunda será 2/9. Se isso acontecer, a probabilidade de sair a outra na terceira carta será 1/8. Veja que isso explica a teoria das combinações, onde:

C_{n, p}=    n!

          P!(n-p)!

Vamos resolver esse cálculo por essa fórmula:

C_{10, 3}= 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 720 = 120

              3.2.1.7.6.5.4.3.2.1       6

Quando você sorteia 3 cartas de 10, você está deixando 7 cartas sem sortear. Ou seja, sortear 3 cartas de 10 é a mesma coisa que sortear 7 cartas de 10. Então

C_{n, p} = C_{n, (n-p)}

Como eu não conhecia essa teoria, eu criei uma outra fórmula, onde:

x= n-p+1 e m = p

(x)m = ((x)m-1)(x+m-1)

                       m

Vamos resolver esse cálculo agora por essa fórmula:

x = 8 e m = 3

(8)3 = ((8)2)(10)

                 3

(8)2 = ((8)1)(9)

                2

(8)1 = ((8)0)(8)

                1

Se sempre que p = 0 → C_{n, p} = 1, sempre que m = 0 (x)m = 1.

Então:

(8)3 = 10.9.8.1 = 720 = 120

              3.2.1         6

Ou seja, se você for sortear 3 cartas de um baralho de 10 cartas, você conseguirá fazer 120 combinações se você não levar em consideração a ordem em que as cartas forem sorteadas.

Mas você pode me perguntar como eu vou calcular o valor de C_{n,, p} se n = -9 e p = -10?

já vimos que C_{n, p} = C_{n, (n-p).} Então vamos transformar isso em (x)m.

X = n-p+1

se m = n-p, então n = m+p e n = x+p-1

m+p = x+p-1

m = x-1 e x = m+1

Então: (x)m = (m+1)x-1.

Se n = -9 e p = -10, então: x = 2 e m = -10

(2)-10 = (-9)1. Então: C_{-9, -10} = -9. porque se m = 1 (x)m = x assim como se p = 1 C_{n, p} = n.

Mas vamos observar outro exemplo: n = -9 e p = -11.

Nesse caso x = 3 e m = -11.

Então: (3)-11 = (-10)2.

resolução:

(-10)2 = ((-10)1)(-9)

                       2

(-10)1 = ((-10)0)(-10)

                       1

Então: (-10)2 = -9(-10).1 = 90 = 45

                                   2          2

Ou seja C_{-9, -11} = 45.

Teoria Científica

Eu quero falar sobre um assunto de que eu entendo um pouco com coisas que aprendi na prática. Quando eu era criança, o Brasil passava por uma ditadura e os pais de crianças pobres não podiam comprar brinquedos para seus filhos. A gente tinha que ser criativo para ter um brinquedo. Nessa época, eu pegava tampinhas e jogava futebol com elas. Mais tarde, eu inventei um jogo de cartas o qual eu chamava de Futebol de Letras. Um dia uma pessoa me perguntou qual a probabilidade de sair uma quantidade de determinadas cartas. Nessa época, eu ainda estava no Ensino Fundamental e não sabia que existia a teoria da probabilidade. Mas eu queria saber responder àquela pergunta e comecei a procurar uma forma de calcular a probabilidade do jogo. Na verdade, no final da história, eu havia levantado a tese da probabilidade novamente. Quando eu estava cursando o Ensino médio, eu descobri que a teoria da probabilidade existia, é claro. Mas o que eu achei incrível foi que eu havia chegado à mesma conclusão. Na verdade, eu apenas a ampliei. Da forma como eu imaginei, eu consegui calcular os números negativos. Por exemplo, você pode sortear -10 cartas de um baralho de -9 cartas desde que o número de cartas do baralho seja maior do que o número de cartas a serem sorteadas (-9>–10). Mas eu não quero provar essa tese, eu quero apenas falar de teoria científica. Outra coisa que eu sempre amei foi desenho. Infelizmente, eu não nasci com o dom do desenho como algumas pessoas que a gente sabe que desenham maravilhosamente e fazem desenhos lindos. Mas eu queria fazer desenho. Então, eu também comecei a procurar uma forma de fazer desenho através da Matemática, usando fórmulas e régua. Depois eu vi que havia também, de certa forma, levantado uma tese. O desenho desta postagem foi feito dessa forma. Mas o que eu quero dizer é que eu aprendi que, quando alguém está levantando uma teoria, ele só se preocupa com ela. Ele acredita que ela é mais importante que tudo e que ele não pode chegar à conclusões erradas ou estará perdendo o seu tempo. Eu estava pensado em Karl Marx. Quando ele viu que o problema da humanidade era a burguesia, ele deve ter ficado muito chateado por ter que desagradá-la. Mas ele se preocupou mais com a sua teoria do que com a burguesia ou em agradá-la. Com todas essas experiências por que passei, eu vejo que não há como negar que Karl Marx estava certo e a cada dia vejo cada vez mais que ele tinha razão.

Instalando K9Copy no Ubuntu 15.04

Depois que o K9Copy deixou de fazer parte dos repositórios do Ubuntu, muitos usuários que gostavam do programa não conseguiram mais usá-lo por não conseguir instalá-lo. Eu estou escrevendo este texto para tentar ajudá-los. Se você quiser instalar o K9Copy no Ubuntu 15.04, você pode baixá-lo, clicando aqui.

Você vai baixar um arquivo chamado K9Copy.tar.gz. Clique sobre esse arquivo com o botão direito do mouse e clique em Extrair aqui.

Você vai extrair uma pasta chamada K9Copy.

Agora abra o Terminal e dê os comandos:

cd Downloads

cd K9Copy

chmod +x install

sudo ./install

Você terá que estar conectado para baixar as dependências.

Pedestal

Quisera pôr você em um pedestal

Ou que fosse em um mural

Para eu poder admirar.

Quisera admirar cada gesto

Quisera esquecer o resto

Só para ver você brilhar.

 

Em seus olhos têm ternura

Em sua boca, formosura

É tão doce, é avassalador.

Quisera esquecer seu jeito

Quisera achar algum defeito

Que destruísse esse amor.

 

Você é como uma estrela

É tão lindo poder vê-la

Com esse brilho a brilhar.

É tão doce feito mel

É tão linda como o céu

Numa noite de luar.

 

Quisera não ter este amor

Quisera não ter esta dor

Quisera não sofrer.

Quisera não ser assim

Quisera achar em mim

Uma forma de esquecer.